Introduction :
L’association d’un condensateur chargé et d’une bobine peut
générer des oscillations électriques, qualifiées de libres dans le cas où aucun
générateur n’est présent dans le circuit.
Le modèle du circuit LC :
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| RLC |
Oscillations libres non amorties d’un circuit LC :
Connectons à la date t=0, un condensateur de charge q=Qm
à une bobine de résistance interne nulle
(voir figure).
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| Circuit LC |
Le condensateur va se décharger dans la bobine. Nous savons
que celle-ci a tendance à s’opposer aux variations du courant. Comment cette
opposition se qui se décharge à nouveau, et ainsi de suite… Des oscillations
prennent naissance dans le circuit, elles sont sinusoïdales.
En l’absence de résistance, et donc de pertes par effets
Joule, l’énergie électromagnétique du circuit, somme des énergies du
condensateur et de la bobine, se conserve :
E= EC + Eb = q²/2C + Li²/2 = cte.
L’amplitude des oscillations reste donc constante. La période
de ces oscillations libres non amorties est caractéristique du circuit LC (voir
figure). On l’appelle période propre et son expression est :
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| oscillations libres non amorties d'un circuit LC |
A la date t=0+, la charge q
conserve la valeur Qm (absence de discontinuité de la charge d’un
condensateur) et l’intensité reste nulle (absence de discontinuité de l’intensité
dans une bobine).
Lorsque la charge diminue, l’intensité,
dérivée temporelle de la charge, prend des valeurs négatives : le courant
de décharge circule en sens contraire du sens indiqué sur le schéma.
Lorsque le condensateur se recharge, l’intensité
redevient positive : le courant circule dans le sens indiqué.
L’intensité s’annule à chaque fois que la
charge est extrémale, ce qui se traduit sur la courbe q(t) par la présence d’une
tangente horizontale.
Etude mathématique de circuit LC :
Un coup d’œil sur le schéma du circuit
montre que les tensions UL et UC sont opposées :
Ldi/dt
= -q/C, d’où
l’équation différentielle : (d²q/dt²)
+ (q/LC) = 0
Cette équation différentielle du second ordre est une équation harmonique dont la solution sous la
forme :
q(t) = Qm cos [(2Pi t/T0) + Φ0]
L’amplitude Qm et la phase à l’origine Φ0
dépendent des conditions initiales. Si on déclenche le chronomètre ou si on
démarre l’acquisition au moment où l’on connecte le condensateur à la bobine, Φ0
a pour valeur 0 et la courbe q(t) part bien d’un maximum (q=Qm).
L’expression de l’intensité i s’obtient en dérivant l’expression
de la charge q par rapport au temps. Une dérivation supplémentaire permet d’obtenir
(d²q/dt²). En reportant les expressions de q et (d²q/dt²) dans l’équation
différentielle, nous retrouvons l’expression de:
Le circuit RLC en régime libre :
Dans la pratique, une bobine a toujours
une résistance interne, même minime, et le circuit peut comporter d’autres
résistances. Désignons par R la résistance totale du circuit (voir figure).
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| circuit RLC série en régime libre |
Comme précédemment, le condensateur
commence à se décharger à la date t=0. Suivant l’importance de la résistance R,
et donc des pertes par effet Joule entraînant une diminution de l’énergie
électromagnétique, on distingue deux types de régimes libres : le régime pseudopériodique et le régime apériodique.
Régime pseudo-périodique d’un circuit RLC série :
Lorsque la résistance est inférieure à
une résistance RC dite critique, le circuit est le siège d’oscillations,
mais l’amplitude de celles-ci diminue. (voir figure)
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| régime libre pseudo périodique |
La pseudopériodique TS,
intervalle de temps séparant les passages par deux maximums successifs, s’éloigne
d’autant plus de la période T0 que l’amortissement est élevé.
Régime apériodique d’un circuit RLC série :
Pour des valeurs de la résistance
supérieures à une valeur critique RC, il est impossible d’observer
une oscillation complète (voir figure)
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| régime libre apériodique |
Entretien des oscillations d’un circuit RLC en régime libre :
Comment éviter l’amortissement des
oscillations d’un circuit RLC série en régime libre ? Une des solutions
consiste à coupler le circuit RLC à un dispositif d’entretien de type « résistance négative ». Celui-ci
fournit l’énergie nécessaire pour compenser les pertes par effet Joule (voir
figure).
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| entretien des oscillations d'un circuit RLC |
Ce dispositif peut être complexe
(présence d’amplificateur opérationnels…), mais il suffit de savoir que la
tension URN à ses bornes est de la forme URN= -Ri. En choisissant
R0 égale à R, résistance totale du circuit, les oscillations restent
sinusoïdales de période égale à la période propre T0.
Définitions clés :
Période propre :
intervalle de temps séparant les
passages par deux maximums successifs dans le cas d’oscillations libres non
amorties (ou d’oscillations libres entretenues).
Équation différentielle harmonique :
équation de la forme (d²X/dt²) +
K X = 0, avec K constante positive. Les solutions d’une équation harmonique
sont des fonctions sinusoïdales.
Régime libre :
le circuit est livré à lui-même,
l’évolution des grandeurs électriques du circuit n’est pas conditionnée par un
générateur qui impose le mouvement des électrons.
Régime pseudopériodique :
régime libre amorti pour lequel l’amplitude
des oscillations diminue au cours du temps.
Régime apériodique :
régime libre amorti se caractérisant
par l’absence d’une oscillation complète.
Pseudopériodique :
intervalle de temps séparant les passages par deux maximums successifs dans le
cas d’un régime pseudopériodique.
Résistance négative :
dispositif fournissant l’énergie
nécessaire pour compenser les pertes par effet Joule dans un circuit RLC en
régime libre.