Réponse d’un circuit RC à un échelon de tension

Réponse d’un circuit RC à un échelon de tension 

Réponse d’un circuit RC à un échelon de tension 

Un condensateur initialement déchargé est connecté à un générateur de tension en série avec un résistor et un interrupteur (fig-a). à la date t=0, on ferme l’interrupteur (fig-b).

Variation de tension générateur en fonction du temps

       

Schéma de montage du circuit RC

               

Réponse d’un circuit RC à un échelon de tension 

Etude expérimentale de la charge du condensateur :

·         L’enregistrement de la tension U_C aux bornes du condensateur donne la charge q au facteur C près (q=CU_C). l’enregistrement de la tension U_R aux bornes du résistor donne l’intensité i au facteur R près (U_R = R.i).

Charge du condensateur : variation de la charge

Charge du condensateur : variation de l'intensité dans le circuit

Réponse d’un circuit RC à un échelon de tension 

·         Les courbes obtenues sont sans surprises. La charge du condensateur qui, comme nous l’avons vu, ne peut subir de discontinuité, croît jusqu’à ce que la tension aux bornes du condensateur soit égale à la tension E du générateur. Quant à l’intensité du courant

i=dq/dt,

Réponse d’un circuit RC à un échelon de tension 

Représentée graphiquement par le coefficient directeur de la tangente à la courbe q(t), elle est maximale à la date t=0 puis décroît jusqu’à tendre vers zéro en fin de charge.

 La durée de charge augmente avec la résistance R, qui limite le débit d’électrons, et avec la capacité C, les condensateurs de capacité élevée étant à même d’emmagasiner une quantité d’électricité plus importante. C’est la constante de temps :

τ = RC

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Qui permet d’évaluer la durée du passage du régime transitoire au régime établi (ou permanent). Elle correspond à l’abscisse du point d’intersection de l’asymptote à la courbe q(t) ou i(t) et de sa tangente à l’origine.

Etude mathématique de la charge d’un condensateur :

La tension U_G délivrée par le générateur est la somme des tensions U_R et U_c :

U_G= E = Ri + q/C

Compte tenu de relation, i=dq/dt, il vient :

dq/dt + q/RC = E/R

le rapport q/RC ayant même unité que dq/dt, le produit τ=RC est bien homogène à une durée et l’équation différentielle peut s’écrire :

dq/dt + q/τ = E/R

La solution de cette équation est :

q(t) = C E (1 – e^-t/τ)

Elle permet de vérifier que la charge est nulle à la date t=0 et qu’elle tend vers la valeur CE lorsque t tend vers l’infini, ce qui est normale car U_C est égale à E en  fin de charge. A l’instant  t = τ,  on trouve q= 0,63 CE : le condensateur est chargé à 63 %. Au bout d’une durée t = 5τ, la charge est quasiment égale à la charge maximale.

La première s’obtient en remplaçant q par CU_C dans l’équation différentielle en q , d’où :

dU_C/dt + U_c/τ = E/RC   et   U_C = E (1-e^-t/τ)

La seconde s’établit en dérivant l’équation différentielle en q par rapport au temps, d’où :

di/dt + i/τ =0  et  i = (E/R) e^-t/τ

A la date t=0⁺, la tension du condensateur est encore nulle (pas de discontinuité de U_C) : tout se passe comme si le résistor était branché directement sur le générateur, d’où une intensité initiale de valeur E/R.

Lorsque t tend vers l’infini, la tension du condensateur tend vers la tension E du générateur et l’intensité i tend vers zéro. Le condensateur se comporte alors comme un isolant.

Décharge d’un condensateur à travers une résistance :

Une fois chargé, le condensateur peut être déconnecté du générateur et déchargé dans une résistance R.

Pour un condensateur donné, la capacité de la décharge dépend de la valeur de cette résistance. Si l’on relie les bornes du condensateur par un fil, la décharge est quasi-instantanée (R=0 et τ=RC=0).

En général, on préfère procéder à une décharge progressive (fig.c), de manière à limiter l’intensité du courant. Celle-ci est négative avec les conventions choisies, mais sa valeur absolue est maximale à t= 0 (fig.d).

Au bout de la durée τ, le condensateur est déchargé à 63% et au bout de la durée 5τ la décharge est quasi-totale (fig.c)

  Définitions clés

Constante de temps :

 lors de la charge ou de la décharge d’un condensateur, elle donne un ordre de grandeur de la durée nécessaire pour passer du régime transitoire au régime établi.

A chacune des questions suivantes peuvent correspondre aucune, une ou plusieurs propositions exactes.

Régime transitoire : 

phase de charge ou décharge d’un condensateur au cours de laquelle la charge et l’intensité varient rapidement.

Régime établi (ou permanent ou encore asymptotique) :

 phase de charge ou de décharge d’un condensateur au cours de laquelle la charge et l’intensité ne varient presque plus.

voir aussi: Circuits RC et Condensateurs

Réponse d’un circuit RC à un échelon de tension